化学分析では、2つの試料の質量を1つずつ量らずに、合計と差の2回の測定から求めることがあります。試料Aと試料Bの質量をそれぞれ $a$・$b$（mg）とし、両側に皿のある天秤で次の2つの測定値を得たとします。

誤差 $\varepsilon_1$・$\varepsilon_2$ はたがいに独立で、どちらも平均 0・分散 36（mg²）とします。試料Bの質量を求める推定量として $\frac{X - Y}{2}$ を使うとき、この推定量の分散はいくつですか。

隣り合うA町とB町を受け持つ配送会社が、宅配ボックスの設置率を調べました。2つの町それぞれで無作為抽出を行った結果は、次のとおりです。

2つの町を合わせた全世帯のうち、宅配ボックスがある世帯の割合を母比率とします。この調査から母比率を点推定するとき、推定値はいくらですか。

母平均 $\mu$・母分散 $\sigma^2$ の母集団から、大きさ $n$ の無作為標本をとります。標本平均を $\bar{X}$、偏差の2乗和を $n - 1$ で割った不偏分散を $S^2$ とします。

標本平均の2乗の期待値には $E(\bar{X}^2) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}$ という関係があります。この関係を使うと、$\mu^2$ の不偏推定量はどれですか。

ある商工団体が、県内の飲食店を対象にキャッシュレス決済の導入率を調べることになりました。予備調査は行っておらず、導入率のおおよその見当も付いていません。無作為に選んだ店に導入の有無をたずね、母比率の 95% 信頼区間を作ります。

選ぶ店の数を $n$、導入していた店の割合を標本比率 $\hat{p}$ とし、信頼区間は $\hat{p} \pm 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ で求めます。$1.96^2 \approx 3.84$ として、この区間の幅、つまり上端と下端の差を 0.05 以下に収めます。次の4つのうち、この条件を満たす最小の店数はいくつですか。

湖にすむ魚の様子を調べる方法の1つに、目印を使う手順があります。まず魚を捕まえて目印を付け、そのまま湖へ放します。日を改めてもう一度魚を捕まえ、その中に目印の付いた魚が何匹いるかを数えます。

ある湖でこの手順を行ったところ、2回目に捕まえた 300 匹のうち 24 匹に目印が付いていました。2回目に捕まえた魚は湖の魚全体から無作為に選ばれ、湖の総個体数は300匹に比べて十分大きいため有限母集団補正を無視できるとします。湖の魚全体のうち目印の付いた魚が占める割合を $p$ とし、上側2.5%点 1.96 を用いるとき、$p$ の 95% 信頼区間として最も近いものはどれですか。

通勤に自転車を使う人の割合は、この2年で変わったのでしょうか。ある事業所では、2年前に従業員 500 人、今年は 600 人を無作為に選び、主な通勤手段をたずねました。自転車と答えた人数は、2年前が 110 人、今年が 168 人でした。

2年前の母比率を $p_1$、今年の母比率を $p_2$ とします。2つの標本はたがいに独立に選ばれたものとし、差 $p_2 - p_1$ の 95% 信頼区間を、$0.28 - 0.22$ を中心に 1.96 と（ア）の積だけ左右へ伸ばした区間として求めます。（ア）に入る式と、その区間から言えること（イ）の正しい組合せは何ですか。