連続型確率変数

ある機器の1日の使用時間 $X$（0時間から20時間）が、$f(x) = a \left( 1 - \frac{x}{20} \right)$ という密度に従うとします。上の図の三角形がその形です。まず定数 $a$ を決めなければ、確率の計算は始まりません。

手がかりは「全体の面積が 1」の一点です。積分すると $\int_0^{20} a \left( 1 - \frac{x}{20} \right) dx = a \left[ x - \frac{x^2}{40} \right]_0^{20} = a(20 - 10) = 10a$ となり、これが 1 に等しいので $a = \frac{1}{10}$ です。

三角形なので、積分せずとも面積の公式で確かめられます。底辺20・高さ $a$ の直角三角形だから面積は $\frac{20a}{2} = 10a$。同じ式が出ました。密度が単純な形のときは、図形として見るほうが速いことがあります。

$a$ が決まれば、使用時間が10時間以下である確率も求まります。上底 $f(10) = 0.05$・下底 $f(0) = 0.10$・高さ10の台形なので、$\frac{0.10 + 0.05}{2} \times 10 = 0.75$。残りの10時間から20時間は 0.25 で、足すと 1 に戻ります。区間の幅はどちらも10で同じなのに、確率は3対1です。