大数の法則

ゆがみのないコインを10回投げて表が7回出たとします。表の割合は 0.7 で、0.5 からはずいぶん離れています。しかし投げる回数を増やしていくと、この割合はしだいに 0.5 のあたりへ落ち着いていきます。

有限な母平均 $\mu$ をもつ同じ分布から独立に抽出するとき、標本の大きさ $n$ を大きくすると標本平均 $\bar{X}$ が $\mu$ に近づきます。この性質を大数の法則といいます。

コインを離れて、平均 50 の連続量でも同じことが起きるのを見ます。図は母平均 50・母標準偏差 10 の母集団から1つずつ取り出し、そこまでの標本平均を記録したものです。横軸は対数目盛で、$n$ が一桁のうちは 41 まで下がる系列もありますが、$n$ が 1000 を超えるころには3本とも 50 のすぐそばを動いています。たまたま1本がそうなったのではなく、どの系列も同じように寄っていくところがこの法則の内容です。

さらに母分散が有限なら、独立同分布標本では $E(\bar X)=\mu$、$V(\bar X)=\sigma^2/n$ です。チェビシェフの不等式 を使うと、これが0へ縮むことから弱法則を示せます。