中心極限定理

世帯の所得は右へ長い裾を引きますし、さいころの目は平らに並びます。どちらも 正規分布 とは似ても似つきません。ところが、そこから標本をとって平均をとると、もとの形が何であれ標本平均の分布は正規分布に近づいていきます。

母平均 $\mu$・母分散 $\sigma^2$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本をとるとき、$n$ が十分大きければ標本平均 $\bar{X}$ は近似的に正規分布に従う。これが中心極限定理です。

平均と分散そのものは 標本平均の期待値・分散 で分かっていたことです。中心極限定理が新たに与えているのは分布の形で、そこが正規分布だと分かって初めて確率の計算ができます。

母集団そのもの（左端）は 0 のあたりがいちばん高く、曲線とはまるで合っていません。$n = 2$ でもまだ左に寄っています。$n = 5$ になるとかなり近づきますが、山の頂上がまだ曲線の頂点より左にあり、右の裾も残っています。それが $n = 30$ では見分けがつかなくなります。同時に山の幅も狭くなっています。こちらは $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ が小さくなる効果です。

必要な大きさは母集団の歪みや尾の重さで変わり、$n\ge30$ は保証ではありません。強い歪みや重い尾ではさらに大きな標本が必要です。母集団が正規分布なら、どのnでも標本平均は厳密に正規分布に従います。

中心極限定理は漸近的な結果です。有限標本で正規近似を使う前に、母集団の歪み・尾・標本の独立性を確認し、近似が妥当か判断します。