標準正規分布表の利用

統計検定2級

標準化して $z = 1.05$ までたどり着いたとして、そこから確率はどう出すのでしょうか。標準正規分布の密度曲線の下の面積が答えなのですが、この面積は初等的な式では書けないので、あらかじめ計算した値を並べた表を引きます。

標準正規分布表は、 $z$ の値ごとに上側確率 $P(Z \ge z)$ を並べた表です。行が小数第1位まで、列が小数第2位を表し、交わったところを読みます。

標準正規分布表（抜粋）：上側確率 $P(Z \ge z)$
z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05
1.0	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469
1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251
1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056

$z = 1.05$ なら、行「1.0」と列「0.05」が交わる 0.1469 です。つまり標準正規分布に従う値が 1.05 以上になる確率は約15%ということになります。ここに載せたのは一部なので、 $z = 0.00$ から $3.99$ までの全体は標準正規分布表（付録）にあります。

書籍によっては、上側確率ではなく $P(0 \le Z \le z)$ （中心から $z$ までの面積）を載せた表を使います。同じ $z = 1.05$ でも、そちらの表では 0.3531 と書かれています。表を引く前に、載っているのがどちらの確率かを必ず確かめます。2つを取り違えると、答えは 0.15 と 0.35 のように大きく食い違います。

表に直接載っているのは上側確率だけですが、次の3つを組み合わせれば、必要な確率はすべてここから作れます。全体の面積が 1 であること、左右対称であること、そして差をとれば区間になることです。

全体から引く： $P(Z \le z) = 1 - P(Z \ge z)$
対称性で折り返す： $P(Z \le -z) = P(Z \ge z)$
差をとって区間にする： $P(a \le Z \le b) = P(Z \ge a) - P(Z \ge b)$

区間の確率を差として求める

$P(1.00 \le Z \le 2.00)$ を求めます。表から $P(Z \ge 1.00) = 0.1587$ 、 $P(Z \ge 2.00) = 0.0228$ なので、 $0.1587 - 0.0228 = 0.1359$ です。

上側1.00の面積から、行き過ぎたぶん（上側2.00の面積）を差し引く、という引き算をしています。2つを足して 0.1815 としてしまう誤りが定番ですが、それでは 2.00 より上を二重に数えることになります。

負の値は対称性で正の側に折り返す

$P(-1.20 \le Z \le 1.05)$ はどうでしょうか。表には負の $z$ が載っていないので、左右対称であることを使って $P(Z \le -1.20) = P(Z \ge 1.20) = 0.1151$ と読み替えます。

あとは全体から両端を落とすだけです。 $1 - 0.1151 - 0.1469 = 0.7380$ 、およそ74%となります。表から読んだ4桁の値どうしで引いているので、厳密な値 0.73807 とは末尾がわずかに違います。

確率のほうから z を探す

推定や検定では逆向きに使うことのほうが多く、「上側5%にあたる $z$ はいくつか」を問われます。表を確率のほうから探すと、 $P(Z \ge 1.64) = 0.0505$ 、 $P(Z \ge 1.65) = 0.0495$ 。ちょうど 0.0500 になる値はその間にあります。

0.0505 と 0.0495 のまん中が 0.0500 なので、 $z$ も 1.64 と 1.65 のまん中をとって 1.645 とします。このように表の隣り合う2行から比例で見当をつける操作を線形補間といい、検定でおなじみの 1.645（片側5%）や 1.96（両側5%）はこうして得られた値です。

入門問題

全 4 問

問 1

上側確率の表から $P(Z \ge 0.50) = 0.3085$ と読み取れました。 $P(Z \le 0.50)$ はいくつですか。

問 2

手元の数表は、上側確率ではなく 0 から $z$ までの確率 $P(0 \le Z \le z)$ を載せる形式でした。 $z = 1.00$ の欄に 0.3413 とあります。 $P(Z \ge 1.00)$ はいくつですか。

問 3

$P(Z \ge 2.00) = 0.0228$ のとき、 $P(|Z| \ge 2.00)$ はいくつですか。

問 4

上側確率が 0.0100 となる $z$ を求めます。表には $P(Z \ge 2.32) = 0.0102$ 、 $P(Z \ge 2.33) = 0.0099$ とあります。最も近い値はどれですか。

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