標準正規分布

統計検定2級

平均 0・分散 1 の正規分布 $N(0, 1)$ を標準正規分布といい、これに従う確率変数は $Z$ と書くのが習わしです。数ある正規分布のうちのひとつにすぎませんが、この1本だけが特別扱いされるのには理由があります。

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ のとき、平均を引いて標準偏差で割った次の $Z$ は、もとの $\mu$ や $\sigma$ が何であっても標準正規分布に従います。

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

\mu

：母平均（分布の中心）、

\sigma

：母標準偏差（分布の広がり）

左は平均と標準偏差が異なる3つの正規分布の密度曲線が別々の位置と広がりで描かれ、右はそれらを標準化した密度曲線が3本とも完全に重なっており、実線・破線・点線で描き分けてあるため重なりが見て取れる — 標準化すると、位置も広がりも違う3つの分布が同じ1本の曲線になる

左では3つの山が別々の場所に別々の幅で立っているのに、標準化した右では3本が完全に同じ曲線に重なります（重なっていることが見えるよう、線種を変えて描いてあります）。したがって、正規分布に関する確率の計算は、どんな $\mu$ ・ $\sigma$ の問題であっても最終的にこの1本の上での話に帰着します。このおかげで分布ごとに数表を作る必要がなく、標準正規分布表の利用だけで足ります。

$Z$ の値そのものにも意味があります。 $z = 2$ なら「平均より標準偏差2つぶん上」ということで、もとの単位（cm・点・円）は割り算のところで消えています。単位の違う量どうしを同じ物差しに載せられるのは、この性質によります。

標準正規分布は 0 を中心に左右対称なので、 $P(Z \le -a) = P(Z \ge a)$ が成り立ちます。負の側は折り返して読めば足りるので、標準正規分布表には正の側しか載っていません。

ある生徒が数学と英語でどちらも 80 点を取りました。得点だけ見れば互角ですが、2つの試験は難しさが違います。

科目	平均	標準偏差	この生徒の得点
数学	60	20	80
英語	70	5	80

それぞれを自分の試験の平均と標準偏差で標準化します。数学は $z = \frac{80 - 60}{20} = 1.0$ 、英語は $z = \frac{80 - 70}{5} = 2.0$ 。同じ 80 点でも、英語のほうが集団の中で倍も上に位置しています。

得点が正規分布に従うとすれば、上位何%かも出せます。数学は $P(Z \ge 1.0) = 0.1587$ で上位16%ほど、英語は $P(Z \ge 2.0) = 0.0228$ で上位2%ほどです。「平均より20点上」と「平均より10点上」を比べて数学のほうが良いと考えるのが、ここでの典型的な早合点になります。

比較するのは平均との差そのものではなく、標準偏差で割った後の値です。英語は全体が平均 70 点のまわりに 5 点幅で密集しているので、そこから10点抜け出すのは大変なことなのです。

入門問題

全 4 問

問 1

$X \sim N(60, 25)$ のとき、 $X = 70$ を標準化した値はいくつですか。

問 2

平均も標準偏差も異なる2つの正規分布に従う $X$ と $Y$ について、 $P(X \ge \mu_X + 1.5\sigma_X)$ と $P(Y \ge \mu_Y + 1.5\sigma_Y)$ を比べるとどうなりますか。

問 3

ある正規分布に従う値を標準化したところ $z = -1.2$ でした。この値が意味するものはどれですか。

問 4

平均を引いて標準偏差で割った値が標準正規分布に従う、と言えるのはどのような場合ですか。

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