樹形図

コインを3回投げたとき、表と裏の出方は何通りあるでしょうか。思いつくまま書き出していくと、たいてい数え落とすか、同じものを二度書きます。数え上げは、順序を決めて機械的にやるのが確実です。

樹形図は、起こりうる場合を段階ごとに枝分かれさせて全部書き出した図です。1回目でまず枝を分け、その先で2回目の枝を分け、というように進めるので、漏れも重複も起きません。

枝先は全部で8本あります。この例のように各枝から次に同じ本数ずつ分かれる場合は、段階ごとの本数を掛けて $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通りと求められます。分岐する本数が経路によって異なる場合は、枝先を数えるか、経路ごとの場合の数を足します。

あとは条件に当てはまる枝を数えるだけです。表がちょうど1回出るのは太線の3本なので、確率 は $\frac{3}{8}$ となります。1つの枝先が起こる確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ で、それが3本ぶんある、と読んでも同じことです。

ここで、3本ぶんあることを忘れて $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ だけを答えにする誤りが定番です。これは（表，裏，裏）という特定の1本の確率であって、「表がちょうど1回」ではありません。図で太線が何本あるかを必ず数えます。