確率

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確率は、あることがらの起こりやすさを 0 から 1 までの数で表したものです。必ず起こることがらの確率は 1、決して起こらないことがらの確率は 0 で、起こりやすいほど 1 に近づきます。

起こりうる結果のどれもが同じ程度に起こると考えてよいとき、その結果は同様に確からしいといいます。このときの確率は、数え上げだけで求まります。

P = \frac{\text{当てはまる場合の数}}{\text{起こりうるすべての場合の数}}

この計算を成り立たせているのは「同様に確からしい」という前提です。結果が2通りだからといって、どちらも $\frac{1}{2}$ とは限りません。ゆがみのないコインの表と裏、さいころの偶数の目と奇数の目は同様に確からしいのですが、赤玉60個・白玉40個の袋から1個取り出すときの赤と白は $\frac{3}{5}$ と $\frac{2}{5}$ で等しくなく、「明日雨が降る／降らない」にいたっては数え上げる根拠がありません。

ゆがみのないさいころを600回投げ、1の目が出た割合を投げるたびに記録した折れ線グラフ。横軸は投げた回数0から600、縦軸は1の目が出た割合0から0.6。最初の数十回は0や0.35近くまで大きく振れるが、100回を過ぎるあたりから振れ幅が小さくなり、点線で示した1/6の水平線の近くに落ち着いていく。 — さいころを繰り返し投げたときの、1の目が出た割合の変化

確率と実際の結果の関係は、この図のとおりです。回数が増えるほど、1の目が出た割合は $\frac{1}{6}$ の近くに落ち着いていきます（大数の法則）。逆にいえば、確率 $\frac{1}{6}$ は「6回投げれば1回は出る」という約束ではありません。5回続けて出なかったからといって次が出やすくなることもなく、各回の出方はそれまでの結果に影響されません。

割合が同じなら確率も同じ

赤球と白球の入った3つの袋から、それぞれ1個ずつ取り出します。白球を取り出す確率がいちばん高いのはどの袋でしょうか。

	赤球	白球	合計	白球を取り出す確率
袋A	5個	3個	8個	3/8
袋B	10個	6個	16個	6/16 = 3/8
袋C	20個	12個	32個	12/32 = 3/8

白球の個数だけを見ると袋Cがいちばん多いのですが、確率は個数ではなく全体に対する割合で決まります。約分すればどれも $\frac{3}{8}$ で、3つとも同じです。球の数が増えても、赤と白の比が変わっていないからです。

取り出した球を戻すかどうかで確率が変わる

赤球3個・白球2個の計5個が入った袋から、2個続けて取り出します。2個とも赤球になる確率を、球を戻す場合と戻さない場合で比べてみます。

1個目を見てから袋に戻す場合、2個目を取り出すときの袋の中身は1個目とまったく同じです。したがって確率はどちらも $\frac{3}{5}$ で、 $\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0.36$ となります。

戻さない場合はこうはいきません。1個目に赤球を取り出した時点で、袋の中は4個・そのうち赤球は2個に減っています。よって $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0.3$ です。戻さないほうが確率は小さくなりました。分母を $\frac{3}{5}$ のまま据え置く誤りが定番なので、2個目を考えるときは袋の中を数え直します。

入門問題

全 4 問

問 1

袋A（赤球5個・白球3個）、袋B（赤球10個・白球6個）、袋C（赤球20個・白球12個）から1個ずつ取り出します。白球を取り出す確率がいちばん高いのはどれですか。

問 2

1の目が出る確率が $\frac{1}{6}$ のさいころについて、正しい記述はどれですか。

問 3

次の2つのことがらの組のうち、「同様に確からしい」といえるものはどれですか。

問 4

赤球4個・白球2個の計6個が入った袋から、戻さずに2個続けて取り出します。2個とも赤球になる確率はどれですか。

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