独立な試行

毎回勝つ確率が 0.6 のゲームを、条件を変えずに繰り返します。各回の勝敗は独立とみなせるので、2回とも勝つ確率は $0.6 \times 0.6 = 0.36$、3回とも勝つ確率は $0.6 \times 0.6 \times 0.6 = 0.216$ です。1回あたりは半分より勝ちやすいのに、3回続けるとなると 0.216 まで下がります。1 より小さい数を掛け続けているのだから当然で、「勝率が高いのだから連勝も起こりやすい」と考えないことです。

逆に、確率だけが分かっているときに独立かどうかを確かめることもできます。2つの事象について $P(A) = 0.4$、$P(B) = 0.35$、$P(A \cup B) = 0.61$ と分かっているとしましょう。まず、どちらか一方でも起こる確率から両方が起こる確率を割り出します（加法定理。和事象の確率は、それぞれの確率の和から重なりぶんを引いたもの）。

$P(A \cap B) = 0.4 + 0.35 - 0.61 = 0.14$ です。いっぽう $P(A) P(B) = 0.4 \times 0.35 = 0.14$ で、両者は一致しました。したがって A と B は独立です。

同時に、$P(A \cap B) = 0.14$ は 0 ではないので、A と B は排反ではありません。独立であることと排反であることは、こうして別々に確かめます。