信頼区間 には必ず「95%」や「99%」という数字が付きます。この数字は何の割合なのでしょうか。同じ手続きで区間を作る操作を何度も繰り返したとき、作った区間のうち母数を含んでいるものの割合——それが信頼係数です。95% 信頼区間といえば、繰り返せば 100 本のうち約 95 本が母数を含む、という意味になります。
動いているのが母数ではなく区間である点を見落としやすくなります。母平均は1つに決まった定数で、確率的に揺れたりしません。標本を取り直すたびに変わるのは標本平均で、それに引かれて区間の位置が動きます。したがって確率で語れるのは「動く区間が、動かない母数を捉えるかどうか」だけです。
そのため「いま手元にあるこの区間に、母平均が 95% の確率で入っている」という読み方は誤りです。数値が出てしまった区間について言えるのは、捉えているか外しているかのどちらかで、それがこちらから見えないだけ。95% は、個々の区間ではなく区間の作り方に付いた成績です。
含まないほうの割合を と書けば、信頼係数は です。95% なら 、99% なら 。母平均の区間推定では、この を左右に半分ずつ振り分けた上側 点を係数に使うので、95% では が現れます（上側確率点）。
そして信頼係数を上げるほど、成績を守るために区間は広く取らざるをえません。外す区間を減らすことと、狭い範囲まで言い切ることは、同じ標本のもとでは両立しません。
ある市の中学生の通学時間を考えます。母平均 30 分・母標準偏差 10 分としておいて（実際には知りえない値ですが、繰り返しの様子を見るために置きます）、25 人を無作為に選んで 95% 信頼区間を作る操作を 20 回繰り返しました。標本平均のばらつきは 分なので、どの区間も半幅は 分、幅は 7.84 分です。
20 本のうち 19 本は母平均の縦線をまたいでいます。ところが 9 本目だけは縦線に届かず、左側で終わっています。この区間も計算を誤ったわけではなく、他と同じ手続きで正しく作ったものです。標本平均がたまたま母平均から 3.92 分より遠いところに出た、それだけのことです。外れが 20 本に 1 本で収まったのは、5% という取り決めの見込みどおりの出方です。
外す区間を減らしたければ、係数を大きくすればよい。同じ 25 人のデータで信頼係数を変えると、区間はこう変わります。
| 信頼係数 | 90% | 95% | 99% |
|---|---|---|---|
| 係数（標準正規分布の上側点） | 1.645 | 1.960 | 2.576 |
| 区間の半幅（分） | 3.29 | 3.92 | 5.15 |
| 区間の幅（分） | 6.58 | 7.84 | 10.30 |
標本平均が 30 分だったとして、95% なら「26 分から 34 分ほど」、99% なら「25 分から 35 分ほど」と述べる形になります。外す危険は 20 本に 1 本から 100 本に 1 本へ下がりますが、そのぶん言えることは粗くなる。どちらを選ぶかは、外したときの痛みと、粗い答えで困る度合いを見比べて決めることになります。
母平均の 95% 信頼区間を1つ求めました。この「95%」が意味するものはどれですか。
同じ標本のまま、信頼係数を 95% から 99% に変えると区間はどうなりますか。
標本平均のばらつき が 5 のとき、母平均の 90% 信頼区間の半幅（中心から端までの長さ）はいくつですか。
同じ手続きで 95% 信頼区間を 20 回作ったところ、そのうち 1 本が母平均を含んでいませんでした。この結果についていえることはどれですか。