点推定 は母数を1つの数値で言い当てますが、その数値がどれくらい当たっているのかは何も語りません。そこで答えに幅を持たせ、「母数はこの範囲のどこかにあると考えられる」と述べる形にします。これが信頼区間です。
作り方はどの母数でもほぼ共通で、推定値を中心に置き、そこから左右へ同じだけ幅を取ります。幅は、推定量のばらつきに、信頼係数から決まる係数を掛けて作ります。この左右対称な形が当てはまらない母数もあり、正規母集団の母平均・母分散の区間推定 と 相関係数の区間推定 で扱います。母分散 がわかっている場合の母平均の 95% 信頼区間なら、次の形です。
この式は独立な無作為標本について、母集団が正規分布の場合、または中心極限定理の条件を満たし大標本で正規近似できる場合に用います。有限母集団からの非復元抽出では、抽出設計に応じた有限母集団修正も必要です。
式のどこにも母集団の大きさ が出てこないことに注意します。全国から 400 人を選んでも、ある町から 400 人を選んでも、 が同じなら区間の幅は同じです（ が に近いときだけ、有限母集団 の修正によって区間が狭くなります）。区間の狭さを決めるのは母集団の規模ではなく、こちらが何人調べたかです。
つまり「狭い区間」と「高い信頼係数」は同時には手に入りません。手元の標本を大きくするか、そのどちらかを譲るか、という取引になります。
ある工程で作る部品の長さを推定します。この工程では母標準偏差が 3 mm と経験的にわかっているとし、36 個を無作為に取って平均 50.0 mm を得ました。
標本平均のばらつきは mm。95% 信頼区間の幅はこれを 1.96 倍した mm なので、区間は 、つまり 49.02 mm から 50.98 mm までとなります。
図の帯がこの区間です。母平均が本当は 49.6 mm だったとしましょう。点推定の 50.0 mm は 0.4 mm 外していますが、区間のほうは母平均を内側に収めています。1点で答えれば外れ、幅で答えれば捉えられる——幅を付けるとはこういうことです。
同じデータで信頼係数を 99% に上げると係数が 2.576 になり、区間は へ広がります。反対に測る個数を 144 個まで増やせば、ばらつきが mm になって、95% 区間は まで狭まります。個数を4倍にすると、 は2倍になるため、区間の幅は半分になります。
信頼区間の説明として最も適切なものはどれですか。
母標準偏差8の正規母集団から独立な無作為標本64個を取り、標本平均40を得ました。母平均の95%信頼区間はどれですか。
独立同分布標本で を標準誤差に使うとき、信頼係数を変えず区間幅を半分にするにはどうしますか。