一致性

母分散4の同じ分布から独立に抽出したみかんの重さについて、標本平均のばらつきが $n$ とともにどう縮むかを並べます。

この縮み方を確率の言葉に直してみます。母平均から 1 g 以上ずれる確率は、チェビシェフの不等式 を使えば分散を $1^2$ で割った値で押さえられるので、$n = 100$ では $\frac{4 \div 100}{1^2} = 0.04$ 以下。同じ計算を $n = 4$ でやると $\frac{1}{1^2} = 1$ で、上限が 1 では何も言えていません。$n$ を増やすほどこの上限は 0 へ向かい、どれだけ小さいずれ幅を持ち出しても同じことが起こります。これが一致性の中身です。

次に、不偏でない推定量が一致性を持つ場合を確かめます。$n$ で割った標本分散 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$ の期待値は $\frac{n-1}{n}\sigma^2$ で、母分散の $\frac{4}{5} = 0.8$ 倍（$n = 5$）にとどまります。ところが $n = 100$ なら $\frac{99}{100} = 0.99$ 倍、$n = 1000$ なら 0.999 倍。平均的にずれているのに、標本を大きくすればそのずれは消えていきます。倍率が 1 に近づくだけでなく、この量自身のばらつきも $n$ とともに縮んでいくので、母分散のまわりへ押し込まれていきます。

反対の組み合わせも作れます。標本の最初の1個 $X_1$ をそのまま母平均の推定量に使うと、$E(X_1) = \mu$ なので不偏です。しかし $X_1$ の分散は $n$ をどれだけ増やしても $\sigma^2 = 4$ のままで、上の表の一番左の列に居座り続けます。みかんを500個量っても2個目以降を捨てているのだから当然で、これは一致性を持たない推定量です。