ひよこ統計

有限母集団

統計検定2級

サイコロを振る回数に上限はありません。何度でも振れるので、目の出方の全体は「いくらでも取り出せるもの」として考えます。ところが、ある会社の職員は 4000 人と数が決まっています。

要素の個数が有限で数え上げられる 母集団 ——これが有限母集団です。いくらでも取り出せると考えるほうは無限母集団と呼び、両者を区別します。

有限母集団から同じ要素を2度選ばない単純無作為抽出をすると、標本値は独立ではありません。この抽出設計での標本平均の分散は次の形です。他の抽出法では、その設計に応じた分散式が必要です。

V(Xˉ)=σ2n×N−nN−1V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \times \frac{N-n}{N-1}
Xˉ \bar{X} ：標本平均、σ2 \sigma^2 ：母分散、n n ：標本の大きさ、N N ：母集団の大きさ

後ろに付いた N−nN−1 \frac{N-n}{N-1} を有限母集団修正といいます。n n が 2 以上なら 1 より小さくなるので、標本平均のばらつきは、同じものを選び直しながら取る場合（復元抽出）より小さくなります。極端な場合を見ると納得しやすく、n=N n = N 、つまり 全数調査 にすると修正は 0 になり、ばらつきは消えます。全員を調べたのだから標本平均は母平均そのもので、これは当然の帰結です。

逆に n n が N N に比べて小さければ、修正はほぼ 1 になり、無視して構いません。標本調査 の精度が母集団の大きさではなく 標本の大きさ で決まるという説明は、この修正による差がほとんどない範囲で成り立ちます。

標本平均の期待値・分散 で使ったのと同じ、2, 4, 6, 8 の4つの数だけからなる母集団で確かめます。母平均は μ=5 \mu = 5 、母分散は 9+1+1+94=5 \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5 です。ここから2つを、同じものを2度選ばないように取り出します。

取り方は6通りで、それぞれの標本平均は 3, 4, 5, 5, 6, 7 になります。この6つの平均は 5 で母平均と一致し、偏差 −2,−1,0,0,1,2 -2, -1, 0, 0, 1, 2 から分散は 4+1+0+0+1+46=53 \frac{4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4}{6} = \frac{5}{3} です。

式のほうも合わせてみます。σ2=5 \sigma^2 = 5 ・n=2 n = 2 ・N=4 N = 4 なので 52×4−24−1=53 \frac{5}{2} \times \frac{4-2}{4-1} = \frac{5}{3} 。一致しました。同じ母集団を戻しながら取ったときの分散は 52=2.5 \frac{5}{2} = 2.5 でしたから、戻さないほうがばらつきは小さいことになります。1つ目に大きい数が出れば2つ目は小さい数が出やすくなる——値どうしが打ち消し合う向きに結びつくため、平均は中央に寄りやすくなります。

では冒頭の会社ではどうなるか。職員 4000 人から 400 人を選ぶ場合、修正は 4000−4004000−1=0.900 \frac{4000-400}{4000-1} = 0.900 。この値は分散を 0.900 倍にし、ばらつきの目安である標準偏差をその平方根の 0.949 倍にします。つまり標準偏差が約5%小さくなるだけです。抽出率（nN \frac{n}{N} ）は 10% でも、精度の改善はこの程度にとどまります。

入門問題

全 3 問
問 1

次のうち、有限母集団にあたるものはどれですか。

問 2

有限母集団から同じ相手を2度選ばずに標本を取るとき、n=N n = N とすると有限母集団修正 N−nN−1 \frac{N-n}{N-1} はどうなりますか。

問 3

有限母集団から単純無作為・非復元抽出するとき、有限母集団修正を無視してよいのはどのような場合ですか。

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