連続修正

n が小さいほど修正による差が大きい

コインを20回投げて、表が 8 回以下になる確率を求めます。$X \sim B(20, 0.5)$ なので平均は $20 \times 0.5 = 10$、分散は $20 \times 0.5 \times 0.5 = 5$、標準偏差は $\sqrt{5} = 2.236$ です。

まず修正なしで計算します。$Z = \frac{8 - 10}{2.236} = -0.89$ から $P(Z \le -0.89) = 0.1867$。いっぽう二項分布から直接求めた厳密な値は 0.2517 で、0.065 も小さく出ています。本来の値の4分の1ほどを取りこぼした計算です。

境界を 8.5 に付け替えると $Z = \frac{8.5 - 10}{2.236} = -0.67$、$P(Z \le -0.67) = 0.2514$。厳密な 0.2517 とほぼ重なりました。0.5 をずらしただけで、誤差が 0.065 から 0.0003 へ縮んでいます。

$n = 20$ では標準偏差が 2.236 しかないので、0.5 のずれは標準偏差の2割以上にあたります。小さな $n$ で修正を省けない理由がここにあります。

近似で残っていたずれを詰める

冒頭に挙げた 0.1469 と 0.1583 の食い違いにも、同じ手当てを当てはめます。10回に1回カウントされる歩数計で1,000歩あるいたときのカウント数 $X \sim B(1000, 0.1)$ について 110 回以上を求めるので、110 の棒を含めるために境界は 109.5 です。$Z = \frac{109.5 - 100}{\sqrt{90}} = 1.00$ から $P(Z \ge 1.00) = 0.1587$。

厳密な値は 0.1583 でしたから、修正なしの 0.1469 に比べてずっと近づきました。$n = 1000$ では標準偏差が 9.49 もあるため、0.5 のずらしが動かす $Z$ はわずか 0.05 ほど。それでも確率にすると1ポイントぶんの違いになります。