幾何平均

ある株価が1年目に2倍になり、2年目に半分になりました。2年たって値は元どおりです。この2年間の「平均の変化率」を出そうとして、+100% と −50% を足して2で割ると +25%。これでは「平均すると増えていた」ことになってしまい、元どおりという事実と食い違います。

倍率の平均には、足して割る 算術平均 ではなく、掛けて累乗根をとる平均を使います。$n$ 個の正の数を掛け合わせ、その $n$ 乗根をとった値を幾何平均と呼びます。

さきほどの例なら、倍率は 2倍と 0.5倍ですから $\sqrt{2 \times 0.5} = 1$。1倍、つまり変化なしという、実際に合った答えが出ます。

変化率は掛け算で積み重なるため、足して割る平均では合いません。2年間を通した倍率は 2 と 0.5 の積になります。積を等しい $n$ 個の数の積に分け直すには、$n$ 乗根をとるほかありません。

「幾何」という呼び名は図形に由来します。2つの数の幾何平均は、その2数を縦と横の長さにした長方形と、面積の等しい正方形の一辺にあたります。縦4・横9の長方形の面積は 36 で、同じ面積の正方形の一辺は 6。たしかに 4 と 9 の幾何平均です。

統計で出番が多いのは、掛け算で積み上がる量の代表として使う場面です。とりわけ $n$ 期間の平均 成長率 は、期首と期末の比の $n$ 乗根から求めます。