ひよこ統計

負の二項分布

統計検定2級

コインを投げ続けて、表が3回出たところでやめることにします。最短なら3回で済みますが、10回投げてもまだ終わらないこともある。何回投げることになるかは、投げてみるまで決まりません。

r=1,2,…r=1,2,\ldots、0<p≤10<p\le1 とします。成功確率 p p の ベルヌーイ試行 を独立に繰り返し、r r 回目の成功が出るまでの試行回数 X X が従う分布を負の二項分布といいます。

P(X=k)=(k−1r−1)pr(1−p)k−r(k=r,r+1,r+2,…)P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} \qquad (k = r, r+1, r+2, \ldots)
r r ：何回目の成功で終わりにするか、k k ：終わるまでにかかった試行回数

式の形には理由があります。k k 回目でちょうど終わるためには、最後の k k 回目が成功でなければなりません。ここが決まっているので、残る k−1 k-1 回のうち r−1 r-1 回が成功、という数え方になります。二項分布 の (nk) \binom{n}{k} が全体から自由に選ぶのに対し、こちらは末尾を固定したうえで残りを選ぶ、という違いです。

書籍によっては、試行回数ではなく「r r 回成功するまでに出た失敗の回数」を X X と定義します。数えているものが試行回数より r r だけ少ないので、期待値も式も違う形になります。問題文が回数と失敗数のどちらを問うているのかを、式を立てる前に確かめます。

期待値と分散は、幾何分布のちょうど r r 倍になります。

E(X)=rp,V(X)=r(1−p)p2E(X) = \frac{r}{p}, \qquad V(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}

r r 倍になるのは、X X が「1回目の成功までの回数」「そこから2回目の成功までの回数」……という幾何分布に従う r r 個の値の和だからです。それぞれの区間は互いに影響しないので、期待値も分散もそのまま足し合わせられます。r=1 r = 1 とおけば幾何分布の 1p \frac{1}{p} と 1−pp2 \frac{1-p}{p^2} に戻ります。

ゆがみのないコインを投げ続け、表が3回出たところでやめます。やめるまでに投げた回数 X X は p=12 p = \frac{1}{2} ・r=3 r = 3 の負の二項分布に従います。最短で3回なので、そこから並べてみます。

投げた回数345678
確率0.1250.1880.1880.1560.1170.082

たとえば5回でやめる確率は、最後の5回目が表で、それ以前の4回のうち2回が表という並びなので (42)(12)3(12)2=6×132=0.188 \binom{4}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 6 \times \frac{1}{32} = 0.188 です。

並びを見ると、最も起こりやすいのは4回と5回で、確率は同じ 0.188。幾何分布では1回目がいちばん高く、そこから一方的に減るだけでしたが、こちらは山ができています。3回で終わるには表が3つ続かねばならず、そちらは 0.125 とかえって珍しいことになります。

期待値は 31/2=6 \frac{3}{1/2} = 6 回。ところが表を見ると、ちょうど6回で終わる確率は 0.156 しかありません。右へ長く裾を引く分布なので、平均は「よく出る回数」より右にずれています。

成功確率を下げると、この形はさらに極端になります。さいころで1の目が2回出るまで振り続けるなら p=16 p = \frac{1}{6} ・r=2 r = 2 で、期待値は 21/6=12 \frac{2}{1/6} = 12 回。最短の2回で終わる確率は (16)2=0.028 \left( \frac{1}{6} \right)^2 = 0.028 しかなく、コインのときの 0.125 を大きく下回ります。4回で終わる確率も (31)(16)2(56)2=751296=0.058 \binom{3}{1} \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{75}{1296} = 0.058 どまりです。p p が小さいほど山は低くなだらかになり、右へ長く伸びていきます。

入門問題

全 4 問
問 1

成功確率が 0.4 の試行を繰り返し、3回目の成功が出たところでやめます。やめるまでの試行回数の期待値はいくつですか。

問 2

成功確率 13 \frac{1}{3} の試行を繰り返し、2回目の成功でやめます。ちょうど5回でやめる確率はいくつですか。

問 3

成功確率 p p を変えずに、終わりにする成功回数を r=2 r = 2 から r=6 r = 6 に増やしました。試行回数の期待値と分散はどうなりますか。

問 4

二項分布と負の二項分布は、どちらも成功確率 p p のベルヌーイ試行の繰り返しを扱います。両者の違いとして正しいものはどれですか。

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