二項分布

統計検定3級統計検定2級

成功する確率が毎回 0.7 のフリースローを6本打ちます。ちょうど3本入る確率はいくらでしょうか。3本入って3本外す並び方は何通りもあり、そのどれもが同じ確率で起こる——ここに気づけば、あとは掛けて数えるだけです。

成功か失敗かの2通りしかない試行を、確率を変えずに独立に $n$ 回繰り返したとき、成功した回数 $X$ が従う分布を二項分布といい、 $X \sim B(n, p)$ と書きます。確率は次の式で与えられます。

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

n

：試行の回数、

p

：1回あたりの成功確率、

k

：成功した回数（0 から n まで）、

\binom{n}{k}

：n 回のうちどの k 回が成功だったかの並び方の数

式の後半 $p^k (1-p)^{n-k}$ は、特定の1つの並び（たとえば「成功・成功・成功・失敗・失敗・失敗」）が起こる確率です（独立な試行なので掛けられます）。前半の $\binom{n}{k}$ は、その並びが何通りあるかを数えています。特定の1通りの確率に通り数を掛ける、という構造は樹形図で太線を数えたのとまったく同じです。

n=10 の二項分布を p=0.2、p=0.5、p=0.8 の3つ並べた棒グラフ。横軸は成功した回数0から10、縦軸は確率0から0.3。p=0.2 では山が k=2 にあり右に裾を引き、p=0.5 では k=5 を頂点に左右対称、p=0.8 では山が k=8 にあり左に裾を引いている。 — n = 10 の二項分布。成功確率 p を変えたときの形の違い

山の頂上はおよそ $np$ の位置にあり、 $p = 0.5$ のときだけ左右対称になります。 $p$ がそれより小さければ山は左に寄って右へ長い裾を引き、大きければ逆に左へ裾を引きます。期待値と分散も $n$ と $p$ だけで決まります。

E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p)

期待値が $np$ になるのは素直な話です。6本を成功率0.7で打てば平均 4.2 本、と直感どおりの値が出ます。分散のほうに $(1-p)$ が掛かっているのは、 $p$ が 0 や 1 に近いほど結果がぶれなくなるからで、最もぶれるのは $p = 0.5$ のときです。

冒頭のフリースローを計算します。成功確率 $p = 0.7$ で6本打つので $X \sim B(6, 0.7)$ 。ちょうど3本入る確率は $k = 3$ の場合です。

並び方の数は、6本のうちどの3本が成功かを選ぶ場合の数です。6本から順に3本を選ぶ並べ方が $6 \times 5 \times 4$ 通り、そのうち選ぶ順序の違い $3 \times 2 \times 1$ 通りは同じ組とみなせるので、 $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りとなります。特定の1通りが起こる確率は $0.7^3 \times 0.3^3 = 0.343 \times 0.027 = 0.009261$ 。掛け合わせて $20 \times 0.009261 = 0.18522$ 、およそ19%です。

ここで20を落として 0.0093 と答えるのが最も多い誤りです。 $0.7^3 \times 0.3^3$ は「最初の3本が入り、残り3本を外す」という1つの筋書きの確率でしかなく、順序が違うだけの筋書きが他に19通りあります。

この $X$ の期待値は $6 \times 0.7 = 4.2$ 本です。平均4.2本のところ、ちょうど3本という結果はやや少なめにあたり、確率が19%と大きくならないのもうなずけます。分散は $6 \times 0.7 \times 0.3 = 1.26$ 、標準偏差は約1.1本なので、だいたい3本から5本のあいだに収まることが多い、と見当がつきます。

入門問題

全 4 問

問 1

1本決める確率が 0.6 の選手が5本シュートを打つとき、ちょうど3本成功する確率を表す式はどれですか。

問 2

表の出る確率が $\frac{1}{2}$ のコインを3回投げるとき、ちょうど2回表が出る確率はどれですか。

問 3

$X \sim B(20, 0.4)$ のとき、期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ の組合せとして正しいものはどれですか。

問 4

二項分布として扱えるのはどの場面ですか。

実践問題に挑戦 →