ベルヌーイ試行

統計検定2級

結果が成功・失敗の2通りで、成功確率を $p$ とする1回の試行をベルヌーイ試行といいます。コインを1回投げる、1個の製品を検査する、1人に賛否を聞く。どれもこれにあたります。

この1回の結果に、成功なら 1、失敗なら 0 を割り当てた離散型確率変数を考えます。とりうる値が2つしかないので、確率分布は1行で書き切れます。

x	0（失敗）	1（成功）
$P(X = x)$	$1-p$	$p$

期待値と分散も、定義に当てはめるだけで出ます。 $E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p$ 。分散は $X$ が 0 か 1 しかとらないので $X^2 = X$ となり、 $E(X^2) = p$ を使って次のようになります（確率変数の期待値・分散・標準偏差）。

E(X) = p, \qquad V(X) = p(1-p)

p

：1回の試行で成功する確率

分散が $p(1-p)$ という形になるのは、確率が半々のときに結果が最も読めなくなるからです。 $p = 0.5$ で分散は最大の 0.25、 $p$ が 0 や 1 に近づくと 0 に向かいます。ほぼ確実に成功する試行の結果は、ほとんどぶれません。

1回のベルヌーイ試行自体には、別の回との独立性は要りません。複数回を組み合わせるとき、反復の条件に応じて別々の分布が立ち上がります。

回数 $n$ を固定して成功回数を数える → 二項分布
成功するまでの回数を数える → 幾何分布
$r$ 回成功するまでの回数を数える → 負の二項分布

ベルヌーイ試行を同じ成功確率 $p$ で独立に反復し、成功回数を二項分布で扱うには、各回の同一分布性と独立性が追加で必要です。袋から玉を戻さずに繰り返し取り出す場合、各回はそれぞれ2結果でも成功確率が変わり、回どうしも独立ではないため、成功総数は超幾何分布で扱います。

工場の検査で、1個の製品が不良である確率が 0.02 だとします。不良なら $X = 1$ 、良品なら $X = 0$ とすると、これはベルヌーイ試行です。

期待値は $E(X) = 0.02$ 。1個検査したときに得られる不良の「個数」の平均が0.02個、ということです。0か1しか出ないのに平均が0.02という小数になるのは、期待値が実際にとりうる値である必要がないためです。

分散は $V(X) = 0.02 \times 0.98 = 0.0196$ 、標準偏差は $\sqrt{0.0196} = 0.14$ です。ここで $p = 0.5$ の場合と比べてみます。分散は 0.25 で、13倍近く大きい。不良率が 2% と分かっている検査は「ほぼ良品が出る」と読めるのに対し、半々の試行は毎回どちらが出るか分からない。分散の値がその差をそのまま表しています。

そしてこの製品を100個検査すれば、不良の個数は $B(100, 0.02)$ に従います。期待値は $100 \times 0.02 = 2$ 個、分散は $100 \times 0.02 \times 0.98 = 1.96$ 。どちらもベルヌーイ試行1回ぶんの値をちょうど100倍したものです。二項分布の $E(X) = np$ ・ $V(X) = np(1-p)$ という式は、独立なベルヌーイ試行を $n$ 個足し合わせた結果として出てきています。

入門問題

全 4 問

問 1

成功なら 1、失敗なら 0 をとるベルヌーイ試行の確率変数 $X$ について、 $E(X^2)$ はどう表せますか。

問 2

成功確率 $p = 0.3$ のベルヌーイ試行について、期待値と分散の組合せとして正しいものはどれですか。

問 3

1個が不良である確率が 0.02 の製品を1個だけ検査します。不良なら $X = 1$ 、良品なら $X = 0$ とするとき、 $E(X) = 0.02$ の読み方として最も適切なものはどれですか。

問 4

独立なベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返し、成功した回数を数えたとき、その回数が従う分布はどれですか。

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