ひよこ統計

一様分布

統計検定2級

一様分布には離散型と連続型があります。離散型では各値の確率が等しくなります。連続型では各一点の確率は0ですが、区間内の同じ長さの範囲なら位置によらず確率が等しくなります。

計算機の擬似乱数は、0以上1未満の連続一様分布に従う値を返すものとして作られています。無作為抽出 で ⌊360r⌋+1 \lfloor 360r \rfloor + 1 という式が使えたのは、r r が一様分布に従うおかげで、360倍しても各番号に同じ幅が割り当てられるからです。一様分布は、他の分布を作り出すための土台にもなっています。

左は離散一様分布の棒グラフで、さいころの目1から6に対して高さがすべて1/6の棒が6本並んでいる。右は連続一様分布で、区間0から4のあいだだけ高さ1/4の水平な直線が引かれ、その外側は0になっている。1から2の部分が塗りつぶされている。
離散一様分布（左）と連続一様分布（右）

離散型は、n n 個の値のどれもが確率 1n \frac{1}{n} をとるもので、ゆがみのないさいころの目がその代表です。左の図のとおり棒の高さがすべて同じで、期待値は値の単純平均 1+2+⋯+66=3.5 \frac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} = 3.5 。連続一様分布の a+b2 \frac{a+b}{2} と同じく、区間の真ん中にあたります。

連続型は、区間 [a,b] [a, b] のうえで密度が一定であるものです。全体の面積が 1 でなければならないので、高さは幅の逆数に決まります。

f(x)=1b−a(a≤x≤b),E(X)=a+b2,V(X)=(b−a)212f(x) = \frac{1}{b-a} \quad (a \le x \le b), \qquad E(X) = \frac{a+b}{2}, \qquad V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}
a,b a, b ：値をとりうる区間の左端と右端

期待値が区間の真ん中になるのは、左右対称なので当然です。分散のほうは幅の2乗に比例し、12 で割った形になります。区間を2倍に広げれば分散は4倍、標準偏差は2倍。分散で幅が2乗になるのは、平均との差を2乗して平均する量だからです。

連続一様分布では、確率が長さの比だけで決まります。区間 [a,b] [a, b] のうちどこかの部分に入る確率は、その部分の長さ ÷ 全体の長さ。上の右図で塗ってある部分が P(1≤X≤2)=14 P(1 \le X \le 2) = \frac{1}{4} にあたり、幅1 × 高さ 14 \frac{1}{4} の長方形として読めます。密度が平らなので、面積の計算が掛け算1回で済みます。

長さ20cmの棒を、どの位置でも同じ確からしさで1か所だけ切ります。左端から切り口までの長さ X X は、区間 [0,20] [0, 20] の連続一様分布に従います。

密度は幅の逆数で f(x)=120=0.05 f(x) = \frac{1}{20} = 0.05 。左端から5cm以内で切れる確率は、長さの比で 520=0.25 \frac{5}{20} = 0.25 です。面積として計算しても 5×0.05=0.25 5 \times 0.05 = 0.25 で同じになります。

同じ理屈で、8cmから12cmのあいだで切れる確率も 12−820=0.2 \frac{12-8}{20} = 0.2 。区間の位置がどこであっても、長さが同じなら確率も同じです。この「位置によらない」ところが一様分布の定義そのもので、他の分布との最も大きな違いになります。

期待値は 0+202=10 \frac{0+20}{2} = 10 cm。分散は 20212=40012=33.3 \frac{20^2}{12} = \frac{400}{12} = 33.3 で、標準偏差は約5.8cmです。密度が平らなので、端付近でも中央付近でも、同じ長さの範囲で比べれば切れる確率は等しくなります。特定の一点で切れる確率は、どの位置でも0です。

入門問題

全 3 問
問 1

区間 [2,10] [2, 10] の連続一様分布に従う X X について、4≤X≤7 4 \le X \le 7 となる確率はどれですか。

問 2

区間 [a,b] [a, b] の連続一様分布の期待値と分散の組合せとして正しいものはどれですか。

問 3

連続一様分布に従う X X について、区間内の長さ2の部分に入る確率を考えます。正しい説明はどれですか。

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