分散

統計検定3級統計検定2級

分散とは、データが平均値のまわりにどれくらい散らばっているかを表す統計量です。散らばりが大きいほど、分散も大きくなります。

求め方は、各データと平均値の差を2乗し、その平均をとります。この「平均との差」を偏差といいます。偏差をそのまま足すと、プラスとマイナスが打ち消し合って必ず 0 になるため、2乗して符号を揃えるのがポイントです。

分散は次の式で求めます。

s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2

s^2

：分散、

x_i

：各データ、

\bar{x}

：平均、

n

：データの個数

平均点と点数の散らばりから分散を計算する

AさんとBさんが5回の小テスト（各10点満点）を受けました。2人とも平均は6点ですが、点数の散らばりは大きく違います。次の図は、2人の点数を数直線上に並べたものです。

各点数と平均との差（偏差）を表にすると、次のようになります。

Aさん	1回目	2回目	3回目	4回目	5回目	平均
点数	5	6	6	6	7	6
偏差	−1	0	0	0	1	0

Bさん	1回目	2回目	3回目	4回目	5回目	平均
点数	2	4	6	8	10	6
偏差	−4	−2	0	2	4	0

偏差の平均は、AさんもBさんも 0 です。プラスとマイナスが打ち消し合うので、偏差のままでは散らばりを測れません。

そこで偏差を2乗して平均します。Bさんは、偏差を2乗すると $16, 4, 0, 4, 16$ 、合計は $16+4+0+4+16 = 40$ 、分散は $40 \div 5 = 8$ です。

同じ手順で Aさんは、2乗すると $1, 0, 0, 0, 1$ 、合計は $1+0+0+0+1 = 2$ 、分散は $2 \div 5 = 0.4$ です。

平均は同じでも、分散を見れば Bさんのほうが大きく散らばっていると分かります。

なお、分散は偏差を2乗した値なので、単位はもとのデータの2乗（この例では「点」の2乗）になります。もとの単位のまま散らばりを見たいときは、分散の平方根である標準偏差を使います。

全 3 問

問 1

データ $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ の分散として正しいものはどれですか。

問 2

分散が大きいほど、データの散らばりはどうなりますか。

問 3

あるデータのすべての値に同じ数を足すと、分散はどうなりますか。