偏差

統計検定2級

偏差は、各データが平均からどれだけ離れているかを表す値です。データから平均を引くだけで求まります。

d_i = x_i - \bar{x}

d_i

：各データの偏差、

x_i

：各データ、

\bar{x}

：平均

平均より大きければ正、小さければ負になり、絶対値がそのまま離れ具合を表します。単位はもとのデータと同じままなので、値をそのまま読めます。

この単純な値には、少し意外な性質があります。偏差をすべて足すと、どんなデータでも必ず 0 になるのです。偏差の合計は「データの合計から、平均を個数ぶん足したものを引いた値」ですが、データの合計はもともと「平均 × 個数」に等しいので、両者が打ち消し合います。

\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0

n

：データの個数

平均が全体をならした値である以上、これは避けられません。したがって、偏差をそのまま平均しても散らばりは測れません。分散が偏差を2乗してから平均するのは、この 0 を避けるためです。

符号を消すだけなら、絶対値をとって平均する方法（平均偏差）もあります。それでも2乗が使われるのは、大きく外れた値をより強く反映できることに加え、標準偏差や相関係数のように後から積み上がる理論が、2乗の形を土台にしているからです。

もう1つ、全員のデータに同じ数を足しても偏差は変わりません。平均も同じだけ動くので、両者の差は据え置かれます。分散・標準偏差・相関係数が定数の加算で変わらないのは、すべてここに由来します。

全員に5点足しても偏差は変わらない

5人が計算テスト（20点満点）で 3, 5, 6, 8, 8 点を取りました。平均は $30 \div 5 = 6$ 点です。

	Aさん	Bさん	Cさん	Dさん	Eさん	合計
点数（点）	3	5	6	8	8	30
偏差	−3	−1	0	2	2	0

右端の列のとおり、偏差の合計は 0 です。DさんとEさんの正の偏差を、AさんとBさんの負の偏差がちょうど打ち消しています。

次に、採点の修正で全員に5点を加えます。点数は 8, 10, 11, 13, 13 点、平均は $55 \div 5 = 11$ 点に上がりました。

	Aさん	Bさん	Cさん	Dさん	Eさん	合計
点数（点）	8	10	11	13	13	55
偏差	−3	−1	0	2	2	0

偏差は5人とも同じ値のままです。全員が同じだけ移れば、平均との位置関係は変わりません。点数そのものは上がっても、散らばり方は何も動いていない、ということです。

全 3 問

問 1

あるデータの偏差をすべて足すと、合計はいくつになりますか。

問 2

平均が 12 のデータで、値が 9 であるデータの偏差はいくつですか。

問 3

分散が、偏差をそのまま平均せずに2乗してから平均するのはなぜですか。