標準偏差

統計検定3級統計検定2級

標準偏差は、分散の非負の平方根です。分散は平均との差（偏差）を2乗して平均したものなので、単位ももとのデータの2乗になります。気温のデータなら「℃の2乗」となり、値の大きさを気温と見比べられません。平方根をとれば単位がもとに戻り、データと直接引き比べられるようになります。

s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2}

s

：標準偏差、

x_i

：各データ、

\bar{x}

：平均、

n

：データの個数

単位がもとのデータと同じなので、「平均から標準偏差1つぶんだけ離れた値」のように読めます。値が大きいほど散らばりが大きく、全部の値が同じなら 0 です。ただし平均の大きさが大きく違う集団同士では、標準偏差の大小だけでは比べられません。そのときは変動係数を使います。

2つの市の気温を比べる

A市とB市で、5日間の最高気温（℃）を記録しました。

最高気温（℃）	1日目	2日目	3日目	4日目	5日目	平均
A市	20	22	23	24	26	23
B市	17	21	23	25	29	23

平均はどちらも23℃です。A市の偏差は $-3, -1, 0, 1, 3$ なので、2乗の合計は $9+1+0+1+9 = 20$ 、分散は $20 \div 5 = 4$ 、標準偏差は $\sqrt{4} = 2$ ℃です。

B市の偏差は $-6, -2, 0, 2, 6$ で、2乗の合計は $36+4+0+4+36 = 80$ 、分散は $80 \div 5 = 16$ 、標準偏差は $\sqrt{16} = 4$ ℃です。

平均が同じでも、B市の標準偏差はA市の2倍あります。B市のほうが日ごとの気温の振れが大きい、と数値で言えます。分散のままなら 4 と 16 で「℃の2乗」ですが、標準偏差なら 2℃ と 4℃ なので、気温そのものと直接引き比べられます。

なお、5日とも一律に5℃高い記録に置きかえても、標準偏差は 2℃ のままです。上がるのは平均だけです。

全 3 問

問 1

標準偏差は、分散からどのようにして求めますか。

問 2

5人の身長がすべて160cmでした。このデータの標準偏差はいくつですか。

問 3

平均得点がほぼ同じ2つのチームで、試合ごとの得点が安定しているのはどちらだと判断できますか。