回帰係数

統計検定3級統計検定2級

回帰直線 $\hat{y} = a + bx$ の形を決めているのは、傾き $b$ と切片 $a$ の2つの数値です。この2つを合わせて回帰係数といいます。直線の引き方そのものは最小二乗法が決めるので、ここでは決まった2つの数値が何を語っているかを読み取ります。

\hat{y} = a + bx

\hat{y}

：直線から予測される

y

の値、

x

：予測のもとにする数量、

b

：傾き、

a

：切片

傾き $b$ は変化の割合です。 $x$ が1増えると、予測値 $\hat{y}$ はちょうど $b$ だけ動きます。割合である以上 $b$ には単位が付き、その単位は $y$ の単位を $x$ の単位で割った形になります。

切片 $a$ は $x=0$ を代入したときの値で、直線が縦軸と交わる高さにあたります。散布図のいちばん左にある点の $y$ だと早合点してはいけません。次の表で、2つの数値の読み方を具体的な式に当てて確かめます。

	傾き $b$	切片 $a$
表すもの	$x$ が1増えたときの $y$ の変化量	$x=0$ のときの $y$
単位	$y$ の単位 ÷ $x$ の単位	$y$ と同じ単位
気温（℃）から来客数（人）を予測する $\hat{y} = 40 + 3x$ では	気温が1℃上がるごとに来客が 3 人増えると予測される	気温 0℃での予測来客数が 40 人

切片が現実の解釈を持たない場合もあります。 $x$ が身長（cm）で $y$ が体重（kg）なら、 $a$ は「身長 0 cm の人の体重」という起こりえない値です。切片は直線の高さを決めるための数値であり、 $x=0$ がデータの範囲から遠いときは、その値に現実の意味を読み込まないようにします。

相関係数との違いにも注意が必要です。相関係数は $x$ と $y$ を入れ替えても同じ値ですが、回帰係数はどちらからどちらを予測する式かで値が変わります。軸を取り違えると、傾きの大きさも単位も別のものになってしまいます。

学習時間と小テストの点数を結ぶ直線を読む

家庭学習の時間 $x$ （時間）と小テストの点数 $y$ （10点満点）の散布図に直線を当てはめたところ、その直線は $x=1$ で $y=4$ 、 $x=4$ で $y=10$ を通りました。

傾きは $y$ の変化を $x$ の変化で割って $(10-4) \div (4-1) = 2$ です。学習時間が1時間増えるごとに点数が2点上がる、と予測する式になっており、単位は「点÷時間」です。

切片は $x=0$ のときの $y$ ですから、通る点1つと傾きから逆算します。 $x=1$ の点を使うと $a = 4 - 2 \times 1 = 2$ となり、直線は $\hat{y} = 2 + 2x$ と決まりました。 $x=4$ を入れると $2 + 2 \times 4 = 10$ で、もう一方の点にも合っています。

ここで、いちばん左の点の $y$ をそのまま切片とみて $a = 4$ としてしまうのが定番の誤りです。この点の $x$ は 0 ではなく 1 です。ここから1時間ぶんの変化 2 点を差し引いた $4 - 2 = 2$ が、求める切片でした。

入門問題

全 3 問

問 1

回帰直線 $\hat{y} = a + bx$ で、傾き $b$ が表すものとして最も適切なものはどれですか。

問 2

ある回帰直線 $\hat{y} = a + bx$ は傾きが $b = 3$ で、 $x = 2$ のとき $y = 7$ となる点を通ります。切片 $a$ の値はどれですか。

問 3

気温 $x$ （℃）から、ある店で売れたアイスの本数 $y$ （本）を予測する式 $\hat{y} = 2 + 5x$ が得られました。この式の読み取りとして正しいものはどれですか。

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