確率変数の和と差（同時分布，和の期待値・分散）

統計検定2級

2つの確率変数を足したら、平均と散らばりはどうなるでしょうか。各期待値が有限に存在するなら、和の期待値はそれぞれの期待値の和になります。独立性は必要ありません。

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

ところが分散はそうはいきません。2つの変数が連動していれば、片方が大きいときもう片方も大きくなり、和のぶれは単純な足し算より大きくなります。その連動ぶんを持ち込むのが共分散です。

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y), \qquad V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)

\mathrm{Cov}(X, Y)

：X と Y の共分散。連動のぐあいを表す

$X$ と $Y$ が独立であれば共分散は 0 なので、この項は消えます。すると和でも差でも $V(X) + V(Y)$ で、どちらも足し算になります。

ここで、差をとったのだから分散も引き算だ、と考えたくなりますが誤りです。 $-Y$ の分散は $(-1)^2 V(Y) = V(Y)$ で、符号を変えても散らばりは変わりません。引き算をしたぶんだけ不確かさが減る、ということは起こらず、むしろ2つぶんの誤差が重なります。

背景にあるのは同時分布です。一般にXとYが独立とは、すべての実数x, yについて $P(X\le x, Y\le y)=P(X\le x)P(Y\le y)$ と分解できることです。離散型では各点で $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ 、連続型で同時密度がある場合は密度の積への分解で判定できます。

定数倍と定数の足し算については、次のように振る舞います。 $V(aX + b) = a^2 V(X)$ 。平行移動 $b$ は散らばりを変えず、 $a$ 倍に拡大すると分散は $a^2$ 倍になります。これを組み合わせれば、たいていの線形な組合せの分散は計算できます。

差をとっても誤差は重なる

ある家庭の電気料金は、去年ぶんも今年ぶんも平均・標準偏差がともに $500\sqrt{2}$ 円の正規分布に従い、互いに独立だとします。2年ぶんの差が800円以上になる確率を求めてみます。

差 $X - Y$ の期待値は $500\sqrt{2} - 500\sqrt{2} = 0$ 。分散は独立なので足して $(500\sqrt{2})^2 + (500\sqrt{2})^2 = 500000 + 500000 = 1000000$ 、標準偏差は $\sqrt{1000000} = 1000$ 円です。

1年ぶんの標準偏差が約707円だったのに対し、差の標準偏差は1000円まで広がりました。差をとると振れ幅が小さくなりそうに思えますが、実際には $\sqrt{2}$ 倍に広がっています。あとは標準化して $Z = \frac{800 - 0}{1000} = 0.8$ 、表から $P(Z \ge 0.8) = 0.212$ です。

連動していれば分散は変わる

今度は独立でない場合を見ます。 $V(X) = 4$ 、 $V(Y) = 9$ として、共分散が 0 のとき・正のとき・負のときで和の分散を並べます。

Cov(X, Y)	$V(X+Y)$	$V(X-Y)$
0（独立など）	13	13
+3	19	7
−3	7	19

共分散が正、つまり一緒に大きくなる関係なら、 $4 + 9 + 2 \times 3 = 19$ と和のぶれは大きくなります。いっぽう差をとれば連動ぶんが相殺されて $4 + 9 - 2 \times 3 = 7$ まで縮みます。共分散が負なら、この大小がそっくり入れ替わります。

つまり「差をとると誤差が重なる」のは独立な場合の話で、連動している2つの差はむしろ安定します。同じ人を2回測った値の差が扱いやすいのはこのためです。

入門問題

全 4 問

問 1

互いに独立な確率変数 $X$ と $Y$ がともに分散 16 をもつとき、 $V(X - Y)$ はいくつですか。

問 2

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ が成り立つのはどのようなときですか。

問 3

$V(X) = 4$ 、 $V(Y) = 9$ 、 $\mathrm{Cov}(X, Y) = 3$ のとき、 $V(X + Y)$ はいくつですか。

問 4

確率変数 $X$ について $V(3X + 5)$ はどう表せますか。

実践問題に挑戦 →