推定量と推定値

統計検定2級

電池を5個測って標本平均 20.0 時間を得たとします。別の5個を測れば 19.6 時間になるかもしれません。計算の仕方は1つなのに、出てくる数値は標本ごとに変わります。この「1つの式」と「そのつどの数値」は、名前を分けて扱います。

母数を推定するために標本から計算する式そのものを推定量、その式に実際のデータを入れて得られた数値を推定値といいます。標本平均 $\bar{X}$ は推定量、20.0 時間は推定値です。

推定量は標本によって値が変わるので、それ自体がひとつの確率変数です。したがって期待値も分散も持ち、分布を考えることができます。いっぽう推定値はすでに出た1つの数値で、ばらつきようがありません。

この区別が要るのは、推定の良し悪しを語れるのが推定量のほうだからです。平均的に母数を当てにいくか（不偏性）、標本を大きくすると母数に近づくか（一致性）、そしてどれだけばらつくか——どれも推定量の性質であって、手元に出た1つの数値について言えることではありません。同じ母数を狙う推定量が複数あるとき、分散の小さいほうが精度の高い推定量です。

記号では、推定量を大文字（ $\bar{X}$ ・ $S^2$ ）、推定値を小文字（ $\bar{x}$ ・ $s^2$ ）で書き分けます。母数をギリシャ文字にするのと合わせると、 $\mu$ （動かない母数）・ $\bar{X}$ （動く推定量）・ $\bar{x}$ （出てしまった推定値）の3つが記号だけで見分けられます。

2枚のコインA・Bの重さ $a$ ・ $b$ を、両側に皿のある天秤で量ります。量り方は2通りあります。AとBを同じ皿に載せて合計を量ると $X = a + b + \varepsilon_1$ 、Aを左・Bを右に載せて差を量ると $Y = a - b + \varepsilon_2$ 。誤差 $\varepsilon_1$ ・ $\varepsilon_2$ は平均 0・分散 $\sigma^2$ で互いに独立とします。

この2つの測定値から、Bの重さの推定量を作れます。

\hat{b} = \frac{X - Y}{2} = b + \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{2}, \qquad V(\hat{b}) = \frac{\sigma^2 + \sigma^2}{4} = \frac{\sigma^2}{2}

\hat{b}

：Bの重さの推定量、

X

：AとBを合わせて量った値、

Y

：AとBの差として量った値、

\varepsilon_1

・

\varepsilon_2

：各測定の誤差（平均 0・分散

\sigma^2

・独立）

分散が $\frac{\sigma^2}{4}$ を2つ足した形になるのは、 $\frac{1}{2}$ 倍すると分散は $\frac{1}{4}$ 倍になり、独立な誤差どうしなら差の分散が和になるからです（和と差の分散）。

Bだけを皿に載せて1回量れば、その推定量の分散は $\sigma^2$ です。ところが上のやり方なら、同じ2回の測定でAの推定量 $\frac{X + Y}{2}$ も同時に得られ、そちらの分散も $\frac{\sigma^2}{2}$ になります。2回でAとBを1つずつ量るのと、手間は同じ。それでいて分散は半分です。量り方という設計だけで精度が変わる、ということです。

実際に量ってみます。合計が 9.4 g、差が 1.4 g だったとすると、Bの推定値は $\frac{9.4 - 1.4}{2} = 4.0$ g、Aは $\frac{9.4 + 1.4}{2} = 5.4$ g です。ここで比べていた $\frac{\sigma^2}{2}$ は推定量についての値で、出てきた 4.0 g・5.4 g のほうには分散も期待値もありません。どの量り方を選ぶかを判断できるのは、数値が出る前だからこそです。

入門問題

全 3 問

問 1

推定量と推定値の説明として正しいものはどれですか。

問 2

同じ母集団から、大きさの等しい標本を取り直しました。値が変わるものはどれですか。

問 3

平均 0・分散 $\sigma^2$ で互いに独立な誤差 $\varepsilon_1$ ・ $\varepsilon_2$ があります。 $\frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2}$ の分散はいくつですか。

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