母比率の区間推定

世論調査の記事に「支持率 40%、誤差は ±3 ポイント」といった但し書きが添えられていることがあります（パーセントで表した数値どうしの差なので、パーセントではなくポイントと呼びます）。この ±3 ポイントが、母比率に付けられた幅です。標本 から求めた比率をそのまま母比率として言い切るのではなく、こうして幅を添えて述べるのが母比率の区間推定です。

組み立ては母平均のときと変わらず、推定値を中心に係数 × ばらつきを左右へ取ります。違うのはばらつきの中身です。1 人の回答は「支持する／しない」の2通りしかないので、標本比率の分散は $\frac{p(1-p)}{n}$ で、分子が母比率だけで決まります。ところがこの $p$ は今から推定したい相手なので、標本比率 $\hat{p}$ で置き換えて使います。

この形は、母集団から無作為に選んだ各観測を、互いに独立な「該当する／しない」の試行として扱えることを前提にします。そのうえで、標本比率の分布を正規分布で近似できる必要があります（二項分布の正規近似）。目安は $n\hat{p}$ と $n(1-\hat{p})$ がどちらも 5 以上、余裕をみるなら 10 以上。「30 人に聞いて 1 人が該当」のような場合は近似が成り立たず、区間の下端が負になるといった不都合も起こります。層化・クラスター抽出などの複雑な標本設計や、有限母集団から大きな割合を非復元抽出した場合は、この単純な式の標準誤差をそのまま使わず、設計効果や有限母集団修正を反映します。

根号の中の $\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p} = 0.5$ で最大になり、0 や 1 に近づくほど小さくなります。同じ人数を調べても、五分五分に割れている事柄のほうが幅は広くなります。調査を設計する段階で必要な人数を見積もるときは、この最悪の 0.5 を当てておけば足りなくなることがありません。