分散分析表

統計検定2級

ばらつきの大きさを、その出どころごとに並べた表が分散分析表です。列には平方和・自由度・平均平方・ $F$ 値を置きます。行の名前は分析によって変わり、回帰分析では回帰・残差・合計の3行です。単回帰なら次の形になります。

要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
回帰	$S_A$	1	$V_A$	$F$
残差	$S_e$	$n-2$	$V_e$
合計	$S_T$	$n-1$

平方和が $S_T = S_A + S_e$ と2つに分かれることは変動の分解で扱います。自由度も同じように足し算で分かれ、データが $n$ 組なら合計 $n-1$ 、回帰 1、残差 $n-2$ です。残差の $n-2$ は、傾きと切片の2つを推定したぶんを $n$ から引いた値でもあります。平方和も自由度も、縦に足すと合計の行になることが表の骨組みです。

説明変数が $k$ 個ある重回帰では、回帰の自由度が $k$ 、残差は $n-k-1$ です。単回帰は $k=1$ の場合で、上の表と一致します。

V_A = \frac{S_A}{1}, \qquad V_e = \frac{S_e}{n-2}, \qquad F = \frac{V_A}{V_e}

S_A

・

S_e

：回帰で説明できた平方和と、残差の平方和、

V_A

・

V_e

：それぞれの平均平方（同じ行の平方和を自由度で割った量）、

n

：データの組数、

F

：2つの平均平方の比

平均平方は、その行の平方和を同じ行の自由度で割った量です。平方和は足し合わせた項目が多いほど大きくなるので、そのまま並べても公平な比較になりません。1自由度あたりの大きさに直してから比べる、という手順を踏みます。ここで早合点しやすいのが、平均平方も縦に足せば合計になるという読み方です。割り算をしたあとの量なので $V_A + V_e$ は全体の平均平方にならず、合計の行では平均平方と $F$ 値の欄を空けたままにします。

$F$ 値は、回帰の平均平方が残差の平均平方の何倍かを示す量です。この値を F分布の上側確率点と比べて回帰が意味を持つかを判断しますが、比をとって判断するという考え方そのものは F比、3つ以上の群へ広げた検定は 3群以上の平均値の差（分散分析）で扱います。

一元配置実験では、回帰の行に相当する部分を水準間と呼びます。水準数を $a$ とすると、自由度は水準間 $a-1$ 、残差 $n-a$ 、合計 $n-1$ です。

一元配置の分散分析表
要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
水準間	$S_A$	$a-1$	$V_A$	$F$
残差	$S_e$	$n-a$	$V_e$
合計	$S_T$	$n-1$

試験では、いくつかの欄が空いた分散分析表を完成させる形がよく出ます。ここで確かめられているのは表の暗記ではなく、平方和と自由度が縦に足し算で分かれること・平均平方が横の割り算で出ること・ $F$ 値がその比であること、この3つを使い分けられるかどうかです。埋める順序もそこから決まり、まず縦の足し算で平方和と自由度の空欄を補い、次に横の割り算で平均平方を出し、最後にその比として $F$ 値を求めます。残差自由度からデータ数 $n$ を戻す式は分析ごとに異なります。切片を含む単回帰なら 2、説明変数が $p$ 個の重回帰なら $p+1$ 、水準数が $a$ の一元配置なら $a$ を残差自由度に足します。

5つの部屋のデータで分散分析表の空欄を埋める

ある建物で5つの部屋を調べ、窓に張った断熱材の枚数 $x$ と、外との温度差 $y$ を並べました。最小二乗法で当てはめた回帰直線は $\hat{y} = 1 + 2x$ です。

	部屋A	部屋B	部屋C	部屋D	部屋E
断熱材 $x$ （枚）	0	1	2	3	4
外との温度差 $y$ （℃）	2	3	3	7	10
予測値 $\hat{y}$	1	3	5	7	9
残差 $y - \hat{y}$	1	0	−2	0	1

温度差の平均は $25 \div 5 = 5$ ℃ です。全体の平方和は平均からのずれの2乗和で $9+4+4+4+25 = 46$ 、残差平方和は残差の2乗和で $1+0+4+0+1 = 6$ 。回帰の平方和は差をとって $46 - 6 = 40$ と求まります。ここまでで平方和の列だけが埋まりました。残りの空欄を（ア）〜（オ）とします。

要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
回帰	40	（ア）	（ウ）	（オ）
残差	6	3	（エ）
合計	46	（イ）

データは 5 組なので、合計の自由度は $5 - 1 = 4$ で（イ）が決まります。残差の自由度が 3 と与えられているため、縦の引き算で回帰の自由度は $4 - 3 = 1$ 、これが（ア）です。単回帰では回帰の自由度は必ず 1 になるので、ここは検算にも使えます。

次は横方向の割り算です。回帰の平均平方は $40 \div 1 = 40$ （ウ）、残差の平均平方は $6 \div 3 = 2$ （エ）。最後に $F$ 値は2つの平均平方の比で $40 \div 2 = 20$ （オ）となり、表が完成します。

要因	平方和	自由度	平均平方	$F$ 値
回帰	40	1	40	20
残差	6	3	2
合計	46	4

最後の割り算でつまずきやすくなります。平方和のまま比をとって $40 \div 6$ を $F$ 値としてしまう答案が目立ちますが、比べるのは自由度で割ったあとの平均平方どうしです。もう一つは合計の行で、ここに平均平方として $46 \div 4 = 11.5$ を書き込んでも、回帰とも残差とも比べようのない量にしかなりません。合計の行には平方和と自由度までを書きます。

入門問題

全 4 問

問 1

単回帰の分散分析表で、残差の行の平均平方はどのように求めますか。

問 2

データが 12 組ある単回帰の分散分析表について、回帰・残差・合計の自由度の組み合わせはどれですか。

問 3

データが 7 組の単回帰で、回帰の平方和が 36、残差の平方和が 15 でした。分散分析表の $F$ 値はいくつですか。

問 4

分散分析表の合計の行について、正しく述べているものはどれですか。

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