F比

3種類の接着剤A・B・Cで金具を接合し、はがれるまでの荷重（kg）を各3枚ずつ測りました。各誤差は互いに独立で正規分布に従い、3水準で母分散が等しいと仮定します。水準ごとの平均は 3・6・9 kg、総平均は 6 kg です。

一元配置実験のやり方で平方和を分けると、接着剤の違いによる平方和が $S_A = 54$（自由度 2）、残差の平方和が $S_e = 24$（自由度 6）でした。ここから平均平方を出し、その比をとります。

独立性・正規性・等分散性の仮定のもとで、水準間の平均平方は残差の平均平方の 6.75 倍ありました。有意水準5%の上側確率点は $F_{0.05}(2, 6) = 5.14$ なので、6.75 > 5.14 から帰無仮説を棄却します。3種類の接着剤で母平均が等しいとは考えにくい、という結論です。ここで自由度を取り違えて $F_{0.05}(6, 2) = 19.33$ を読むと、同じ $F$ でも棄却しないという逆の判定になってしまいます。

平均が同じでも、水準の中の散らばりが大きければ棄却されない

同じ3種類で、水準ごとの平均は 3・6・9 のまま、各水準の値だけが A：0, 3, 6、B：3, 6, 9、C：6, 9, 12 と広がった場合を考えます。水準の平均が動いていないので $S_A = 54$、$V_A = 27$ はそのままです。一方、各水準の偏差は −3, 0, 3 になり、残差平方和は $(9+0+9) \times 3 = 54$、残差平均平方は $54 \div 6 = 9$ に増えます。

比は $27 \div 9 = 3.00$ まで下がり、5.14 を超えません。平均どうしの離れ具合はまったく同じでも、水準の中のばらつきが大きければ、その差は偶然でも起こりうる範囲だと判断されます。平均の差だけを見て結論を出せないのは、このためです。

2つの水準なら、等分散の独立2標本t検定と一致する

最初の接着剤をAとBの2種類に絞ってみます。この独立2群に等分散を仮定したプール型の両側 $t$ 検定を行うと $t = -1.8371$、同じ6枚を分散分析にかけると水準間平方和は 13.5（自由度 1）、残差平方和は 16（自由度 4）です。平均平方に直すと $V_A = 13.5$・$V_e = 16 \div 4 = 4$ なので、比は $13.5 \div 4 = 3.375$。これは $(-1.8371)^2 \approx 3.375$ と一致します。自由度も、$t$ の自由度が 4 なら $F$ は $(1,\ 4)$ と対応します。これはプール型の独立2標本検定との対応であり、Welch検定や対応のある検定との一般的な対応ではありません。