一元配置実験

9個の測定値が手元にあります。接着剤A・B・Cで試験片を接合し、はがれるまでの荷重を接着剤ごとに3枚ずつ測ったものです。実験 で名前を付けた因子を1つだけ動かし、各水準に複数の実験単位を割り当てたこの形の実験を一元配置実験といいます。集まった値は、どの水準のものかを $i$、その水準の中で何番目かを $j$ として $y_{ij}$ と書き分けます。水準数を $a$、各水準の繰り返し数を $r$（反復）とすれば全部で $n = ar$ 個。添字を2つ持たせるのは、水準をまたぐ違いと同じ水準の中の違いという、性質の異なる2種類のばらつきを最初から別々に数えるためです。

右端は各水準の3枚の平均 $\bar{y}_i$ で、9個すべての平均である総平均 $\bar{y}$ は 6 kg です。ここで、1つの観測値が総平均からどれだけ離れているかを、途中に自分の水準平均を挟んで2つに割ります。前半の $\bar{y}_i - \bar{y}$ は接着剤の違いで説明が付くずれ、後半の $y_{ij} - \bar{y}_i$ は同じ接着剤で試した3枚の中に残るずれです。2つを足すと $\bar{y}_i$ が打ち消し合い、元のずれに戻ります。

この式を2乗して $n$ 個ぶん足すと、2つの2乗和のほかに交差項 $2\sum_{i}\sum_{j}\left(\bar{y}_i - \bar{y}\right)\left(y_{ij} - \bar{y}_i\right)$ が現れます。ところが水準を1つ固定すれば $\bar{y}_i - \bar{y}$ は定数として外に出せ、残る $\sum_{j}\left(y_{ij} - \bar{y}_i\right)$ は水準平均からの偏差の和なので 0 です。交差項は水準ごとに消え、$S_T = S_A + S_e$ という足し算だけが残ります。回帰で予測値を挟んで 変動の分解 を作ったのとまったく同じ仕掛けで、挟む相手が予測値から水準平均に変わっただけです。水準間平方和が $S_A = \sum_{i=1}^{a} r\left(\bar{y}_i - \bar{y}\right)^2$ と $r$ 倍の形になるのは、1つの水準平均が $r$ 個の観測値を代表しており、同じ2乗を $r$ 回足すことになるからです。

自由度も同じ形で分かれます。水準平均は $a$ 個ありますが総平均で1つ縛られるため水準間は $a-1$、残差は各水準の中で $r-1$ 個ずつ自由に動けるので $a(r-1) = n-a$、合わせて全体の $n-1$ です。つまずきやすいのは $n$ の数え方で、水準数と繰り返し数の掛け算で数えるべきところを表の行数や水準数そのものと取り違えると、残差の自由度がまるごとずれます。3水準を3枚ずつなら $n = 9$ であって 3 ではありません。2つの自由度が決まればあとは 分散分析表 の形に値を並べるだけで、平均平方の比を作って判定する筋道そのものは F比・3群以上の平均値の差（分散分析） が引き受けます。

接着剤3種の荷重から平方和を分け、分散分析表を組み上げる