母分散の比の検定

「2つの母分散が等しい」という主張は、$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ とも $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} = 1$ とも書けます。母分散の比の検定が 帰無仮説 に置くのは後者の形です。比にしておくと、F分布 に従う量 $\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}$ から未知の母分散が約分で消え、標本の不偏分散だけで計算できる統計量が残るからです。

帰無仮説が正しければ $F$ は 1 の近くに散らばり、母分散が違えば 1 から離れます。「ばらつきが違うか」を問う両側検定では $\alpha$ を上下へ $\frac{\alpha}{2}$ ずつ振り分け、棄却域を $F > F_{\alpha/2}(\nu_1, \nu_2)$ または $F < F_{1-\alpha/2}(\nu_1, \nu_2)$ とします。ところが 上側確率点 の表にあるのは上側の点だけなので、下側の点は自由度を入れ替えた上側点の逆数 $F_{1-\alpha/2}(\nu_1, \nu_2) = \frac{1}{F_{\alpha/2}(\nu_2, \nu_1)}$ として読み替えます。分子と分母を取り替えた $\frac{s_2^2}{s_1^2}$ は自由度 $(\nu_2, \nu_1)$ のF分布に従います。もとの統計量が小さいことを、逆数が大きいことに置き換えられるわけです。

この検定を使う中心的な場面は、測定器の精度や製品の均一さなど、ばらつきの違い自体が関心事のときです。比がどの範囲にあるかまで知りたい場合は 母分散の比の信頼区間 を作ります。同じ標本で先にこの検定を行い、非有意ならプール型、有意なら Welch と切り替える二段階手続きは、最終的な検定の誤りの確率を名目水準どおりに保てないため推奨されません。平均差の方法は研究計画や事前の仮定に基づいて選びます。この検定には、成り立たなければ結論が意味を失う前提と、計算前に決めておく事柄があります。

• 正規性：どちらの母集団も正規分布に従うか。母分散の検定 と同じく、この検定は正規性からのずれに弱く、標本を大きくしても埋め合わせられません（中心極限定理 が近づけるのは標本平均の分布です）。
• 独立性：2つの標本が別々に取られているか。同じ対象を2回測った対のデータには使えません。
• 分子と分母：どちらの群を分子に置いたか。自由度は順序を入れ替えられないので、$\frac{s_1^2}{s_2^2}$ と決めたら確率点も $(\nu_1, \nu_2)$ の順で読みます。
• 両側か片側か：「ばらつきが違うか」なら両側で $\frac{\alpha}{2}$ ずつ、「一方のほうが大きいか」なら片側で上側に $\alpha$ をまとめて置きます。