母比率の検定

袋に「発芽率 80%」と表示された種子を 100 粒まいたところ、芽が出たのは 72 粒でした。表示より 8 ポイント低いこの数字を、たまたま出の悪い袋を引いただけと見るか、表示そのものを疑うか。母比率の検定は、この迷いを「母集団の比率が本当に 80% なら、これだけのずれはどれくらい起こりやすいか」という問いに置き換えます。母比率を特定の値 $p_0$ とおく 帰無仮説 を立て、ずれの大きさを次の統計量ではかります。

分母は標本比率のばらつきです。母比率の区間推定 では根号の中に標本比率 $\hat{p}$ を入れましたが、検定で入れるのは $p_0$ のほうです。同じ母比率を扱うのだから分母も同じ、と早合点してはいけません。検定は「帰無仮説が正しいとしたら何が起こるか」を調べるので、ばらつきも仮説が与えた値から計算します。推定のほうには仮説がなく、真の比率の見当が $\hat{p}$ しかない、という違いです。

帰無仮説が正しいとき、$z$ は近似的に標準正規分布に従います。あとは有意水準を決めて境界と比べるだけで、両側検定なら 5% で $|z| > 1.96$、1% で $|z| > 2.576$ が棄却域です。p値 で判定しても結論は同じで、帰無分布が左右対称なので両側のp値は片側のちょうど 2 倍になります（両側検定と片側検定）。ただし、この近似がいつでも使えるわけではありません。もとは 0 か 1 しかとらない観測を足し上げた二項分布なので（二項分布の正規近似）、次の目安を満たすだけの標本の大きさが要ります。

• $np_0 \ge 5$ かつ $n(1-p_0) \ge 5$。帰無仮説のもとで期待される該当数と非該当数が、どちらも 5 個以上あること
• 条件を確かめるのは $\hat{p}$ ではなく $p_0$ です。$p_0$ が 0 や 1 に近いほど、必要な $n$ は大きくなります
• 目安を満たさないときは近似をあきらめ、二項分布の確率を直接足し上げて p値を求めます

二項分布は飛び飛びの値をとるため、境界を半個分ずらす 連続修正 を入れる流儀もあります。統計検定の問題では「連続修正を行わない」と断ってあることが多く、ここでも修正なしの式で通します。