t分布

標本平均を 標準化（z得点） するには、母標準偏差 $\sigma$ で割る必要がありました。ところが実際の調査で $\sigma$ が分かっていることは、まずありません。母平均 $\mu$ すら知らないから調べているのに、母標準偏差だけ知っているというのは不自然な話です。

そこで $\sigma$ の代わりに、標本から計算した不偏分散 $S^2$（偏差の2乗和を $n-1$ で割った値。分散 で $n$ で割ったのとは割る数が違います）の平方根を使います。ただし $S$ は標本ごとに変わる量なので、分母までが標本のたびに揺れることになります。分子だけが揺れていた $Z$ とは違い、この統計量はもう 標準正規分布 には従いません。

t分布は、いま作った $T$ が従う分布です。自由度は 標本の大きさ より1つ小さい $n-1$ で、正規母集団を仮定したうえで、母分散を知らないまま母平均を扱うための道具になります。

形は標準正規分布とよく似た、0 を中心とする左右対称の釣鐘型です。違いは山の高さと裾で、t分布のほうが山がわずかに低く、そのぶん裾が厚くなっています。分母が揺れるぶん、極端な値が出やすいということです。ただし違いが目で見えるのは 2 より外側からで、右の図のようにそこを拡大して、ようやく自由度3、自由度10、標準正規分布の順に上から並ぶのが分かります。

自由度が大きくなると $S$ は $\sigma$ に近づいて分母の揺れが収まり、t分布は標準正規分布に近づきます。歪度・尖度 で見ると、左右対称なので歪度は 0 のまま、尖度は $\frac{6}{\nu - 4}$（$\nu > 4$）で自由度が大きいほど 0 に近づきます。