変数変換

単位を変えても相関係数が動かない

太さのまちまちな5本の棒について、長さと重さを測りました。太さが違うので、長いほうが軽いこともあります。

平均はどちらも 5、長さの偏差は −3, −1, 0, 1, 3、重さの偏差は −3, −1, 0, 3, 1 です。2乗の合計はどちらも $9+1+0+1+9 = 20$ なので分散は $20 \div 5 = 4$、標準偏差は 2 です。偏差の積の合計は $9+1+0+3+3 = 16$ で共分散は $16 \div 5 = 3.2$、相関係数は $3.2 \div (2 \times 2) = 0.8$ となります。

ここで長さを mm に直します。$x' = 10x$ なので $c = 10$、$d = 0$ です。値は 20, 40, 50, 60, 80、平均は 50、偏差は −30, −10, 0, 10, 30 で2乗の合計は 2000、分散は 400、標準偏差は 20 になります。平均も標準偏差もちょうど 10倍で $c\bar{x} + d$ と $|c| s_x$ のとおり、分散は $c^2$ 倍すなわち $4 \times 100 = 400$ になっています。共分散も 10倍の 32 になりますが、相関係数は $32 \div (20 \times 2) = 0.8$ で動きません。分子と分母が同じだけ大きくなるからです。

今度は重さのほうです。5本とも同じ目印のシールが 1g ぶん貼ってあったので、$y' = y - 1$ で取り除きます。値は 1, 3, 4, 7, 5 で平均は 4 に下がりますが、全体が同じだけ下がるので偏差は −3, −1, 0, 3, 1 のまま、標準偏差も 2 のままです。相関係数もやはり 0.8 から動きません。

最後に、長さを「10cm の基準よりどれだけ短いか」に置き換えてみます。$x'' = 10 - x$ なので $c = -1$ です。値は 8, 6, 5, 4, 2、平均は 5、標準偏差は 2 でどちらも変わりませんが、偏差の符号がすべて逆になるため偏差の積の合計は −16、相関係数は −0.8 です。「短いほど軽い」という同じ事実を、逆向きの目盛りで読み直しただけなので、結びつきの強さ 0.8 は保たれています。

対数で直線に直し、もとの量に戻して読む

図に使った細菌の数は、1時間ごとにおよそ 1.6倍ずつ増えます。倍率で増える量は、常用対数をとると一定の量ずつの増加になります。たとえば 1, 10, 100, 1000 の常用対数は 0, 1, 2, 3 で、10倍ずつの並びが 1 ずつの等間隔に直りました。図の右で点が直線に乗ったのは、これと同じ理由です。

その直線の傾きも図から読めます。右の縦軸の値は、0時間の 0 から9時間の約 1.8 まで上がっているので、傾きは $1.8 \div 9 = 0.2$ です。この 0.2 はおよそ $\log_{10} 1.6$ に当たり、1時間あたり何倍になるかを表しています。経過時間を $t$ とすれば、当てはめた直線はおよそ $\log_{10}\hat{y} = 0.2t$ です。

この直線が返すのは対数の値なので、細菌の数として読むにはもとの量に戻します。$t = 10$ を入れると $0.2 \times 10 = 2.0$ ですが、これは 2万個という意味ではありません。常用対数が 2.0 になる数は $10^{2.0} = 100$ ですから、予測される細菌の数は 100万個 です。9時間の約65万個をさらに 1.6倍したくらいの値で、つじつまも合います。戻し忘れて 2.0 のまま読めば、答えは桁ごと違ってしまいます。