母比率の差の検定

同じ内容の講習を、対面で 50 人、動画で 50 人が受けました。終了後に「内容を理解できた」と答えた人数は、対面が 31 人、動画が 19 人でした。理解できたと答える割合は、2つの受け方で違うといえるでしょうか。仮説は $H_0: p_1 = p_2$、$H_1: p_1 \neq p_2$ の両側、有意水準は 5% とします。

プールした比率は $\hat{p} = \frac{31 + 19}{50 + 50} = 0.50$ です。人数が同じなので、0.62 と 0.38 のちょうど真ん中になりました。$\hat{p} = 0.5$ なので近似の目安は4つとも $50 \times 0.5 = 25$ で、いずれも 5 以上を満たしています。標準誤差は $\sqrt{0.5 \times 0.5 \times \left(\frac{1}{50} + \frac{1}{50}\right)} = \sqrt{0.01} = 0.10$、検定統計量は $z = \frac{0.62 - 0.38}{0.10} = 2.40$ となります。

$|2.40| > 1.96$ ですから棄却域に入り、有意水準 5% では割合が違うと判断できます。p値でも確かめておくと、標準正規分布表から $P(Z \ge 2.40) = 0.0082$ なので、両側では $2 \times 0.0082 = 0.0164$。ところが水準を 1% に取り替えると、境界は 2.576 で 2.40 はその内側、p値も 0.0164 > 0.01 ですから棄却できません。同じ $z$ の値が、先に決めた水準しだいで別の結論を返します。

仮に区間推定と同じ形で各群の標本比率を根号に入れていたら、標準誤差は $\sqrt{\frac{0.62 \times 0.38}{50} + \frac{0.38 \times 0.62}{50}} = 0.0971$、$z$ は 2.47 でした。差はわずかで、この問題では結論も変わりません。それでも検定で使うのはプールしたほうです（出題で非プールの式が示されたときは、その式に従います）。ここで測っているのは「2つの母比率が等しい世界で、0.24 という差はどれくらい起こりやすいか」であり、その世界に比率は1つしかないからです。